逆関数の積分(千葉大後期)

今回解く問題は以下の通りです。

逆関数の積分の問題です。(1)について逆関数を持つということは、関数が単調に増加するか、減少するかを言えればOKです。微分計算は少し大変です。

(2)の逆関数の積分は、元の関数のグラフを描いて、図形的に求めるのが定石です。計算量は結構多く、大変です。

以下解答

今回はここまでですが、復習用に類題を載せておきます。解き方は全く同じです。

ちなみにこちらの(2)の解答は (3√3log3/4)-(2√3)+(2)+(π/6)です。

場合分けを減らす

今回解く問題は以下の通りです。

まずは正方形の四頂点の座標を表現するのが第一歩です。正方形の頂点はある点について中心から90°ずつ回転したものになります。あとはそれらの座標について、ある2つがy>x²-2に含まれ、残りがy<x²-2に含まれるとすればいいのですが、結構煩雑になります。境界がどこなのかを先にめぼしを立てて場合分けをします。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

非有名角の三角関数のあれこれ

今回解く問題は以下の通りです。

(1)はsin(π/9)に関する不等式の問題です。有名ではない角の三角関数は、何倍かして有名角にし、それを倍角の公式を使って表現するのが基本です。今回は3倍角です。三次方程式なので、直接求めるのは難しいので、グラフを用いて不等式を示します。

(2)はsin(π/n)の単調性に着目することが第一歩です。するとsin(π/8)とsin(π/10)に関するものが必要になります。sin(π/8)は倍角を用いてすぐ求まります。sin(π/10)は5倍すると有名角になり、それを2倍角と3倍角にわけるのがパターンです。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

問題文をかみ砕けるか

今回解く問題は以下の通りです。

微分と極値に関する問題ですが、(3)は整数の要素も絡んできます。

(1)は微分するのみですが、これを間違うと後は全滅なので注意しましょう。(2)はxが分母にあるので、どれが極小値なのかが分かりにくいです。いったん分数を別の文字で置き替えるといいでしょう。

(3)は与えられた条件をどう言葉で言い換えるかがカギになります。結局何を言えばいいのかを見抜くと、後は整数の問題になります。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

次数下げをフル活用

今回解く問題は以下の通りです。

二次関数と三次関数について色々なことを聞く問題です。

(1)はf(f(x))を素直に書きだせば求まります。(2)はg(α)=0のときにg(α²-2α)=0が成り立つことを示す問題です。もちろんg(α)の形にして0であることを利用するのですが、ここでα³-3α²+3=0を用いて、次数下げを行います。または、g(α²-2α)をg(α)で割り算してもいいです。

(3)はまず何を示せばいいのかを把握するのが第一歩です。g(3-p)<0を示せばいいのですが、g(3-p)をそのまま求めて、pを代入するのは計算が大変です。そこで次数下げを行います。極値の計算などによく用いられる方法ですね。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

複素数平面の軌跡

今回解く問題は以下の通りです。

複素数平面上の軌跡を考える問題です。(1)に関しては、z=x+yiとおいて、x,yの条件式を立てれば解決します。Fは円と直線の二種類あることが分かります。

(2)に関しては、円の場合と直線の場合で分けて考えます。円の場合は|z|=rを用いて、wを表現するのが良いでしょう。直線の場合は、z=kとおいて、x+yiを媒介変数で表します。

以下解答

ちなみに、直線のときの媒介変数の消去は、まず媒介変数で微分してグラフを描いて、そこから円の方程式を予測しています。大体分数変換の軌跡は円です。

今回はここまでです。ありがとうございました。

定積分の増減

今回解く問題は以下の通りです。

変数が混じった定積分の増減を考える頻出問題です。(1)は定数分離がなされているので,問題ありません。

(2)はまず絶対値の積分なので、f(x)=0となるxをαとおいてひとまず積分を進めるのが定石です。また、絶対値の積分は先に原始関数を求めてから、最後に代入するといいです。あとはkとαのどちらかの文字を消去して、増減を調べます。計算量は多めです。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。