今回解く問題は以下の通りです。
確率漸化式は、考えられる状況を全て洗い出し、その後いろいろな操作で漸化式を解くことが多いです。この問題は状況が赤1白1か白2の二通りしかない最も基本的な問題です。このタイプは、1つをpnとおいて、もう一つを1-pnとおくのが定石です。(3)についてもおまけのような問題です。
以下解答
確率漸化式は、(I)状況の数が多く、連立漸化式を解くのが難しい。と(II)状況を把握して漸化式を立てることが難しい。
この2パターンの難しさがあります。難関大の問題の難しいパターンは大体(II)でしょう。次回は(I)と(II)が微妙に混ざった問題を扱います。
今回解く問題は以下の通りです。
今年の慈恵医大の問題です。難易度はやや高めだと思います。回転体の体積の原則は回転する前に切るです。それができればあとは計算問題なのですが、この問題は切るまでが難しいです。
以下解答
今回はここまでです。ありがとうございました。
今回解く問題は以下の通りです。
(1)は簡単でしょう。定数分離がなされているので、グラフを描けばよいです。メインは(2)です。線分の中点の軌跡といえば、青チャートなどにもあるほどおなじみの問題ですね。よくあるのは、二次関数と直線の交点について中点の軌跡を求めるものです。このような問題は、解と係数の関係を用いてパラメータを消去するのが定石です。
今回の問題は用いる方程式が三次方程式のため、パラメータkともう一つ変数が現れます。これをどう消去するのかがポイントです。計算量が多くすこし難しいです。
この問題が難しいと感じたら、青チャートなどの中点の軌跡をおさらいしてからもう一度チャレンジしてみてください。
今回解く問題は以下のとおりです。
今年の東大の問題にも出ました座標平面上で角度を考える問題です。まず、角度を考える問題は初等幾何でもない限り三角関数を用いて考えます。(2)のようなθの最大値などは、sin,cos,tanの増減を考えます。
また、座標平面上で角度を考える際に有力な方針は
1. ベクトルの内積を使う 2. 直線の傾きからtanθを考える
この2パターンがあります。今回は1を使って解きます。以下解答
それなりに計算量のある問題ですので、計算練習にも役に立つと思います。参考として、今年の東大の問題も載せておきます。難易度はあまり変わらないと思います。
今回はここまでです。ありがとうございました。
今回は置き換えをメインにした問題を取り上げます。
今回は自作問題です。(1)はとても簡単ですが、(2)はいろいろな類題経験がないと難しいかもしれません。しかし、やっていることは基礎の組み合わせなので、いろいろな問題に触れることが大事だと分かるでしょう。↓以下解答
今回はここまでです。また次回の問題でお会いしましょう。
今回は数2の微積分の分野から問題を一つ解いてみます。
この問題のメインは(1)です。(2)は(1)ができれば比較的楽に終わります。
(1)では二つの放物線の交点を結ぶ線分の長さを聞かれています。すぐに思いつくのは、P(α,α²),Q(β,β²)とおいて、ゴリ押しする方法だと思います。今回の問題ではもちろんその方法でいけますが、4乗の計算など、計算がすこし煩雑になります。ここで便利な手法があります。
POINT 線分の長さは傾きを求めて、三平方の定理
この手法を使えば少し計算が楽になります。詳しくは解答をご覧ください。(2)は相加相乗平均と1/6公式を使う典型問題です。1/6公式を使う際はx²の係数に注意しましょう。これは共通テストでも大事なポイントです。
解答
この問題のような計算押しでもできる問題はゴリ押しして計算力をあげるもよし、計算の工夫を学ぶもよしの良い問題だと思います。どちらにせよ、計算ミスには注意しましょう。ありがとうございました。
今回はより大きい、より小さいもので挟むというテクニックをつかう不等式の問題を一つ解いてみます。
京大模試
(1)は微分をするだけですが、a^xの微分は忘れがちなので注意しましょう。今回も分数の微分なので、x^-aと考えて積の微分に直すことをお勧めします。
増減を調べる際は、絶対に正負が分かるものはくくるという方針で行きましょう。残ったものに対して、より大きな数で評価するという考えを使います。
(2)はとりあえずf(a),f(b),f(c)を求めて不等式を立てるまではいいでしょう。そうしたら左の不等式は簡単に示せると思います。
少し難しいのは右側の不等式です。積の形になってしまう分母を払うという方針はうまくいかないでしょう。つまり不等式を足したり引いたりして示す方針になります。そのあとはまた大きいもので抑えるという方針で考えてみましょう。
解答
不等式の証明は、より大きい、より小さいもので抑えることや、既存の不等式を足すのかかけるのかという方針の決定が大事だと思います。ありがとうございました。
