空間ベクトルの標準問題

今回解く問題は以下の通りです。

空間ベクトルについていろいろなことを聞いている演習問題です。(1)と(2)は計算のみでゴリ押すことで完結しますが、計算量は多めです。

(3)は一転して得られる結果の図形的な意味つまり点GとPがどのような位置関係であるかをどこまで見抜けるかがポイントです。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

情報の分析が肝の確率漸化式(千葉大後期2024)

今回解く問題は以下の通りです。

最大の山場は(1)です。(1)が解ければ、(2),(3)は計算問題です。

ポイントは、素数であるときに1に戻ってしまうことです。これにより、a{n}はあまり大きな値をとらないことが考えられます。何回か実験すると、状況は3つしかないことが分かり、p{n},q{n},r{n}とすると、3つの連立漸化式になります。ここまでが第一の山場。

次にp{n+2}をp{n},q{n},r{n}で表現でき、q{n},r{n}を消去する必要があります。これが第二の山場です。もちろんp{n}+q{n}+r{n}=1を使いたいのですが、q{n}とr{n}の係数が異なっており、うまく使えません。これをどうするのかがポイントです。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

偶奇で異なる漸化式

今回解く問題は以下の通りです。

本問の漸化式の構造は、奇数の項は直接求まり、偶数の項は漸化式によって求まるというものです。本問の山場は(2)です。

2^pとなるような項をいかにして作成するかということを考える必要があります。その過程で(3)は自然と分かるでしょう。(4)は(3)ができれば単なる計算問題ですが、

S{n+1}=pS{n}+qn+rの形の漸化式の解き方は覚えておきましょう。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

等差数列になる条件

今回解く問題は以下の通りです。

まずはこの四次方程式の解を表現することが先決です。このとき、二次式のみで構成されているので、x²=tとおけば、簡単に表現できます。

後は等差数列になる条件を立式するのですが、主に二つの路線があります。

1. 公差をdとおいて、数列の項を消去する　

2. a+c=2bなどを用いて、項を直接求める

今回は1を採用します。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

微積分、極限の総合問題

今回解く問題は以下の通りです。

(1)で微分、(2)で積分、(3)ではさみうちの原理を使った極限という欲張りセットです。それぞれの計算量はさほど多くありませんが。

(1)は差を取って微分という典型問題です。符号が分かるまで何回も微分します。(2)は簡単な積分です。(3)は、答え以外の値だと収束しないことを言う必要があります。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

ガウス記号と論証

今回解く問題は以下の通りです。

ガウス記号を交えた論証の問題です。ガウス記号に関する不等式

x≦[x]<x+1  [x]-1<x≦[x]

は使えるようにしておきましょう。この問題は基本的に背理法で解きます。また、前の問が直接次の問に使えるため、道筋は明快です。難易度はふつうです。

以下解答

今回はここまでです。ありがとうございました。

確率漸化式(状況が3つ)

今回解く問題は以下の通りです。

カードが三枚あるので、普通に状況を考えると2³=8通りの状況になりますが、それでは手が負えません。そこで状況を分析する工夫が必要になります。これが前回の最後に述べた(II)にあたります。対称性を生かして状況をまとめていきます。

結果的に3通りの状況の連立漸化式になるのですが、このような問題はパズル要素が強いです。いろいろ試しましょう。

以下解答

今回はここまでです。次回は論証の問題を扱います。ありがとうございました。